設函數f(x)=arctanx
則f '(x)=1/(1+x^2) 可以推出在(a,b)區間上，任意的x，1/(1+b^2)<f '(x)<1/(1+a^2)
由于f(x)函數在[a,b]連續，在(a,b)可導，由拉格朗日中值定理，可得：
存在一點m屬于(a，b），使得：f '(m)=(arctanb-arctana)/(b-a)
則1/(1+b^2)<(arctanb-arctana)/(b-a)<1/(1+a^2)
即：（b-a)/(1+b^2)<arctanb-arctana<(b-a)/(1+a^2) (0<a<b)

令f(x)=lnx,當b<=§<=a時，1/a<=1/§<=1/b.應用拉格朗日定理，f(a)-f(b)=f'(§)(a-b)所以就有：(a-b)/a<=lna/b<=(a-b)/b.

函數f(x)＝lnx b≤x≤a lna-lnb＝(a-b)/ζ 其中ζ為某個數， b≤ζ≤a， 有(a-b)/a≤(a-b)/ζ≤(a-b)/b

在區間[b.a],f(x)=lnx滿足定理條件. 知f'(x)=1/x. 用定理,知存在c: b 使:lna-lnb=(1/c)*(a-b) 即ln(a/b)=(a-b)/c 注意到條件:0 有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b. 即有::(a-b)/a 作業幫用戶 2017-11-02 舉報