1、對于任意的x＞0，取函數f(t)＝arctant，t∈[0，x].

f(x)－f(0)＝f'(ξ)×x，ξ∈(0，x).

即arctanx＝x/(1＋ξ^2).

1/(1＋x^2)＜1/(1＋ξ^2)＜1，所以，x/(1＋x^2)＜arctanx＜x.

2、取函數f(x)＝lnx，x∈[a，b]

f(b)－f(a)＝f'(ξ)×(b－a).

f'(ξ)＝1/ξ∈(1/b，1/a)，所以，(b－a)/b＜lnb－lna＜(b－a)/a，即

(b－a)/b＜ln(b/a)＜(b－a)/a

3、設f(x)＝arctanx＋arccotx，x∈(－∞，＋∞).

f'(x)≡0，所以f(x)≡C（常數）.

又f(0)＝π/2，所以C＝π/2.

所以，arctanx＋arccotx＝π/2.

如果a<0,b<0，用-a,-b代替。
如果a>b，可以交換a和b的地位，要證的不等式和a<b的情形形式一樣。
下面只討論a<b的情形。

(ln x)' = 1/x
由中值定理，存在a<c<b使得
lnb - ln a = (b-a) * (ln c)' = (b-a)/c
由于a<c<b，所以1/b < 1/c < 1/a，代入上式，得
(b-a)/b < lnb - lna < (b-a)/a，證畢