公益訴訟刑事附帶民事案件應該由檢察院起訴，這樣可以節約司法資源，并且，檢察院應在法院啟動審理刑事案件之前提出。檢察院辦理環境污染及危害食品安全方面的案件，可以在提請公訴的時候一并發起民事公益訴訟，要求追究嫌疑人的賠償責任。
一、公益訴訟刑事附帶民事案件由誰起訴?
刑事附帶民事公益訴訟可以由檢察機關提起，司法解釋明確檢察機關以“公益訴訟起訴人”的身份提起公益訴訟，更加合理、明確地界定了檢察機關提起訴訟的身份;同時增加了刑事附帶民事公益訴訟這一新的公益訴訟案件類型，明確規定生態環境和資源保護、食品藥品安全領域的刑事案件中，需要追究被告人侵害社會公共利益的民事責任的，檢察機關可以一并提起附帶訴訟，由同一審判組織一并審理，節約司法資源。
二、公益訴訟有哪些法律特征?
公益訴訟有其明顯的特征：
1、公益訴訟的原告是不特定的人。一般僅指無利害關系的人，但古羅馬法亦包括有利害關系的人。且如果原告為多人，可由裁判法官選擇適宜的人作為原告。
2、原告起訴的出發點在于維護社會公共利益，法律尊嚴及社會公平正義，而非個人一己私利。
3、公益訴訟涉及的案件范圍寬泛，可以是民事侵權行為，也可以是行政違法、刑事犯罪活動。
4、公益訴訟的地位體現在對國家機關執法能力不足的補充與協助，而非取代國家機關進行執法活動。
5、原告在勝訴后往往受到一定的物質獎勵。
三、提出刑事附帶民事訴訟的程序是怎樣的?
附帶民事訴訟應當在刑事案件立案以后第一審判決宣告之前提起。有權提起附帶民事訴訟的人在第一審判決宣告以前沒有提起，不得再提起附帶民事訴訟。但可以在刑事判決生效后另行提起民事訴訟。之所以要求附帶民事訴訟應當在刑事案件立案以后第一審判決宣告之前提起，是因為如果附帶民事訴訟與刑事訴訟不在同一審級中解決，將導致這兩種性質的訴訟在審理程序上的分離，達不到設立附帶民事訴訟制度提高效率、節省訴訟資源的目的，也不利于及時查清案情。但是，如果有權提起附帶民事訴訟的人在刑事判決生效以后另行提起民事訴訟，則不受刑事訴訟法有關提起附帶民事訴訟期間的限制，可以按照民法通則和民事訴訟法的規定執行。
綜上所述，破壞環境犯罪或者生產銷售偽劣食品犯罪，都危害到社會公眾權益。檢察院作為刑事案件公訴人，可以在發起公訴的同時提出公益訴訟，這樣不用經過訴前程序，可以節約辦案資源。提請公益訴訟，應該對外界公告，保障群眾的知情權。