根據《司法鑒定程序通則試行》規定，申請司法鑒定應遵循以下程序：
1、委托
司法鑒定機構和社會專業司法鑒定人接受司法機關的委托，從事委托請求事項的司法鑒定。
2、受理
司法鑒定機構收到委托書后，應對委托人的委托事項進行。
3、初次鑒定
鑒定機構受理案件后，應當指派具有社會專業司法鑒定資格的人員承擔鑒定工作。
4、補充鑒定
司法鑒定機構接受委托進行補充鑒定，應當對委托人請求的事項進行審查，并退回委托書。
5、重新鑒定
重新鑒定仍在原社會專業司法鑒定機構進行，不能由原鑒定人承辦重新鑒定的事項。司法鑒定機構可以接受委托，進行重新鑒定。
6、復核鑒定
對鑒定結論有異議需進行復核鑒定的，其他資質較高的司法鑒定機構可以接受委托，進行復核鑒定。
7、司法鑒定文書的出具
司法鑒定人完成社會專業司法鑒定工作后，應當出具司法鑒定文書。
8、出庭
司法鑒定人出庭時依法實事求是的對鑒定結論的依據進行說明，回答與鑒定相關的問題。

當事人參與司法鑒定程序主要包含以下幾個步驟：
一、委托：司法鑒定機構可接受司法機關、仲裁機構或當事人自身的司法鑒定委托。通常情況下，當事人通過律師事務所進行委托。
二、受理：司法鑒定機構收到委托后，需對委托事項進行審核。符合受理條件時，即時簽訂合同；若需7日內決定是否受理，或不符合條件時退回材料并說明理由；函件委托則需在7日內書面答復。
三、初次鑒定：機構指派具備資格的人員進行鑒定工作，同一事項至少由兩名人員參與。
四、補充鑒定：對委托人請求事項審查，不屬例外情形時，告知并退回委托書。補充鑒定符合特定條件時，可由原或指定其他人員進行，補充文成為原文組成部分。
五、重新鑒定：需提供與原材料相同的材料，不能由原鑒定人進行。在特定情況下，如鑒定范圍、標準、材料虛假、結論不科學、鑒定人應回避、提供錯誤鑒定等，可重新鑒定。
六、復核鑒定：在有異議需復核時，資質較高機構可接受委托。需提交原文及復核材料。
七、出具文書：鑒定完成后，出具符合規定的司法鑒定文書，一式三份，一份交委托人，兩份存檔。
八、出庭：根據司法機關或仲裁機關要求，按時出庭，出示執業證書，實事求是地說明鑒定依據，回答相關問題。
總結，當事人應遵循上述步驟進行司法鑒定程序，注意不同類型的鑒定可能有細微差異，應根據具體情況配合司法部門與鑒定機構，以確保快速獲得結果，推進案件進展。